Question

在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，如图①，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结DE.

（1）当DE=10时，求证：DE与圆O相切；
（2）求DE的最长距离和最短距离；
（3）如图②，建立平面直角坐标系，当DE =10时，试求直线DE的解析式.

Answer 1

（1）证明见解析（2）（3）或

（1）证明：连结，
由题意得，------------1分
，，为公共边
∴ 
∴-------------------2分
（利用勾股定理逆定理相应给分）
∴
∴与圆相切.-------------------3分
（2）当点运动到与点重合的位置时，
为正方形的对角线，所以此时最长，有：
-----------------4分
当点运动到线段与半圆的交点处时，最短.
-----------------5分
证明如下：
在半圆上任取一个不与点重合的点，连结，.
在中，∵  即：，
∵    ∴
∵点是任意一个不与点重合的点，∴此时最短.        -----------------6分
∴-------------7分
（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
---------8分
当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥轴，分别交，轴于点，，连结.
则四边形是矩形，且为圆的切线
∴=90°
∴-----------------------9分
又∵
∴∽
∴----------------------10分
设，则有：，
得：，-----------------------11分
解得：， 即：----------------12分
又直线DE过点D(10,10),设直线解析式为，则有：，
解得：，即：
∴当时，直线的解析式为或-----------------------14分
以下两种解法涉及高中知识，仅供参考：
另解2:
（1）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；
（2）当点E与点A不重合时，，

设直线且经过点（10，10），代入求得
所以直线DE的解析式为
另解3:
依题意得:点O的坐标为(0,5),设直线DE的解析式为
由点到直线的距离公式得: ,即   ①
直线DE过点D(10,10),得   ②
由①②解得：，解得
所以直线DE的解析式为
（1）如图1，连接OE，OD，由题意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，从可得∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）当点E运动到与B点重合的位置时，如图2，DE为正方形ABCD的对角线，所以此时DE最长，利用勾股定理求得DE，证明当点E运动到线段OD与半圆O的交点处时，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．
（3）当点E与点A重合时，DE=DA=10，此时，直线DE的解析式为y=10；如图4，当点E与点A不重合时，过点E作GH⊥x轴，分别交AD，x轴于点G，H，连接OE．则四边形AFEG是矩形，且DE为圆O的切线，求证△OFE∽△DGE，利用其对应边成比例，设E（m，n），则有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可