Question

13．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点．连结AC，BC，分别以AC，BC为边A外作正△ACD，正△BEC，P，Q分别是弧$\widehat{AC}$，弧$\widehat{BC}$的中点，若DP+EQ=11，AB=13，则AC+BC的长是（　　）

• A． 24
• B． 12$\sqrt{3}$+12
• C． 24$\sqrt{3}$-24
• D． 17

Answer 1

分析 连接OP，OQ分别交AC于H，BC于I，根据垂径定理得到H、I是AC、BD的中点，根据等边三角形的性质解答即可．

解答 解：设AC+BC=x，
连接OP，OQ分别交AC于H，BC于I，
∵弧$\widehat{AC}$，弧$\widehat{BC}$的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI=$\frac{1}{2}$×（AC+BC）=$\frac{1}{2}$x，
∵AB=13，
∴OP=OI=6.5，
∴PH+QI=13-$\frac{1}{2}$x，
∵△ACD和△BEC是等边三角形，
∴DH+CI=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-（13-$\frac{1}{2}$x）=11，
解得，x=24$\sqrt{3}$-24，
故选：C．

点评 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，矩形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线．