Question

2．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-3，0），点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求函数的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标；
（3）设点Q为线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=-1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）a=1时，先由对称轴为直线x=-1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x²+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x²+2x-3），根据S_△POC=4S_△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x²+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

解答 解：（1）∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=x²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=-1对称，
∵点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）∵抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴-$\frac{b}{2}$=-1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
则二次函数的解析式为y=x²+2x-3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．
设P点坐标为（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x²+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+t   （k≠0）将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得 $\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
即直线AC的解析式为y=-x-3．
设Q点坐标为（x，-x-3）（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，QD有最大值 $\frac{9}{4}$．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．