Question

7．阅读材料：
$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}=\frac{{1×（\sqrt{2}-1）}}{{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}}=\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{{\sqrt{5}+2}}=\frac{{\sqrt{5}-2}}{{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}}=\sqrt{5}-2$
…
按照上述式子变形的思路求：
（1）$\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$；
（2）$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$（n为正整数）
（3）根据你发现的规律，请计算：$（\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2010}+\sqrt{2009}}}+\frac{1}{{\sqrt{2011}+\sqrt{2010}}}）（1+\sqrt{2011}）$．

Answer 1

分析 （1）根据已知提供的信息，把代数式的分子分母同时乘以$\sqrt{7}-\sqrt{6}$即可；
（2）把代数式的分子分母同时乘以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$即可；
（3）根据（2）中规律进行变形化简即可．

解答 （1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\frac{1×（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）×（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}-\sqrt{6}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{1×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
（3）（$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2010}+\sqrt{2009}}$+$\frac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2010}}$）（1+$\sqrt{2011}$）
=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}-\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2010}$-$\sqrt{2009}$+$\sqrt{2011}-\sqrt{2010}$）×（1+$\sqrt{2011}$）
=（$\sqrt{2011}-1$）×（1+$\sqrt{2011}$）
=2011-1
=2010．

点评 此题主要考查二次根式的化简方法-------分母有理化的探索与运用，分析阅读材料中的解题思路，灵活进行模仿运用是解题的关键．