Question

已知若干个正整数之和为2014，求其积的最大值的末三位数字．

Answer 1

考点：尾数特征,排列与组合问题

专题：

分析：通过观察、分析，可得若正整数之和为3n，当这些正整数都等于3时，它们的积最大．由于2014=3×671+1=3×670+4，且3⁶⁷¹×1=3⁶⁷⁰×3＜3⁶⁷⁰×4，因此当正整数之和为2014时，其积的最大值为3⁶⁷⁰×4即9³³⁵×4．然后利用二项式定理就可解决问题．

解答：解：观察下列关系式：
3¹＞1³，3²＞2³，3³=3³，3⁴＞4³，3⁵＞5³，3⁶＞6³_，…
可知：3ⁿ≥n^3_（n为正整数），
由此可得：若正整数之和为3n，当这些正整数都等于3时，它们的积最大．
由于2014=3×671+1=3×670+4，且3⁶⁷¹×1=3⁶⁷⁰×3＜3⁶⁷⁰×4，
因此当正整数之和为2014时，其积的最大值为3⁶⁷⁰×4即9³³⁵×4．
根据二项式定理可得：9³³⁵=（10-1）³³⁵=[10+（-1）]³³⁵
=

C

0 335

•10³³⁵+

C

1 335

•10³³⁴•（-1）+…+

C

332 335

•10³•（-1）³³²+

C

333 335

•10²•（-1）³³³+

C

334 335

•10•（-1）³³⁴+

C

335 335

•（-1）³³⁵．
设

C

0 335

•10³³⁵+

C

1 335

•10³³⁴•（-1）+…+

C

332 335

•10³•（-1）³³²=1000A，（A为正整数）
因为

C

333 335

•10²•（-1）³³³+

C

334 335

•10•（-1）³³⁴+

C

335 335

•（-1）³³⁵=-100

C

2 335

+10

C

1 335

-1=-5591151，
所以9³³⁵=1000A-5591151，
所以9³³⁵的末三位数为849．
因为849×4=3396，
所以9³³⁵×4的末三位数为396，
所以当正整数之和为2014时，其积的最大值的末三位数字为396．

点评：本题主要考查了尾数特征、带余除法、二项式定理、组合计算、幂的乘方等知识，用到以下公式：a^mn=（a^m）ⁿ，

c

m n

=

c

n-m n

，（a+b）ⁿ=

n

i=0

C

i n

a^n-i•bⁱ，通过观察分析得出“若正整数之和为3n，当这些正整数都等于3时，它们的积最大”，事实上可通过比较得出“若正整数之和为3n+1，这些正整数的积最大值为3^n-1×4”，“若正整数之和为3n+2，这些正整数的积最大值为3ⁿ×2”．