Question

4．如图，线段EF与直线AB、CD分别相交于点E、F，∠CFE的平分线交AB于点M，∠AEF的平分线交MF于点P，记∠AEP=α，∠CFP=β，α+β=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠EFD的平分线交AB于点N，求∠MNF+∠NMF的和．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线定义得：∠AEF=2∠AEP，∠CFE=2∠CFP，根据已知得：∠AEF+∠CFE=2α+2β=180°，可得AB∥CD；
（2）根据角平分线得：∠EFD=2∠EFN，由三角形内角和得出结论．

解答 证明：（1）∵MF平分∠CFE，EP平分∠AEF，
∴∠AEF=2∠AEP，∠CFE=2∠CFP，
∵∠AEP=α，∠CFP=β，α+β=90°，
∴∠AEF+∠CFE=2α+2β=180°，
∴AB∥CD；
（2）∵FN平分∠EFD，
∴∠EFD=2∠EFN，
∵∠EFC=2∠EFM，
∵∠EFD+∠EFC=180°，
∴∠EFN+∠EFM=90°，
∴∠MNF+∠NMF=90°．

点评 本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和角平分线的性质是关键．