Question

如图，二次函数y在y=-

1

2

x²+

5

2

x-2，其图象坐标交于A，B，C点．
（1）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当三角形DCA面积最大时，求出点D的坐标；
（2）P是抛物线上的一动点，过点P作PM垂直x轴，垂足为M．设M的横坐标为m，当1＜m＜4时，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）本题需先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交AC于E，再由题意可求得直线AC的解析式，即可表示出E点的坐标，从而得出结果即可；
（2）首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分2种情况进行讨论，当

AM

PM

=

AO

OC

时，和

AM

PM

=

OC

OA

时，分别求出点P的坐标即可．

解答：解：（1）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-

1

2

x²+

5

2

x-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
当y=0，则0=-

1

2

x²+

5

2

x-2
解得：x₁=1，x₂=4，
当x=0，y=2，
故A（4，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则

4k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 1 2 b=-2

，
则直线AC的解析式为：y=

1

2

x-2，
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

x²+

5

2

x-2，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S_△DAC=

1

2

（t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大，
∴D（2，1）．

（2）如图，设P点的横坐标为m，
则P点的纵坐标为-

1

2

x²+

5

2

x-2，
当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=-

1

2

x²+

5

2

x-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当

AM

PM

=

AO

OC

，
∵C在抛物线上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴

AM

PM

=

AO

OC

=2，
∴△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2）．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②当

AM

PM

=

OC

OA

时，△APM∽△CAO，即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．