Question

18．同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设圆的半径为R，在正方形ABCD中，连接AC，由圆周角定理得出AC为直径，由正方形的性质得出AC=2R，求出AB=$\sqrt{2}$R；在正三角形EFM中，作ON⊥EF于N，连接OF，则∠ONF=90°，∠OFN=$\frac{1}{2}$∠EFM=30°，求出ON=$\frac{1}{2}$R，得出FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，FM=2FN=$\sqrt{3}$R，即可得出结果．

解答 解：设圆的半径为R，如图所示：
在正方形ABCD中，连接AC，
∵∠B=90°，
∴AC为直径，
∴AC=2R，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$R；
在正三角形EFM中，作ON⊥EF于N，连接OF，
则∠ONF=90°，∠OFN=$\frac{1}{2}$∠EFM=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$R，
∴FN=$\sqrt{3}$ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴FM=2FN=$\sqrt{3}$R，
∴AB：FM=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、正三角形的性质、解直角三角形、三角函数；熟练掌握正方形和正三角形的性质，在直角三角形中运用三角函数计算是解决问题的关键．