Question

16．如图，在锐角三角形中，
（1）猜想$\frac{a}{sinA}$，$\frac{b}{sinB}$，$\frac{c}{sinC}$之间的关系，并证明．
（2）猜想cosC与a，b，c之间的关系？并证明．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC、作BE⊥AC，由AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，同理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，继而可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$；
（2）由CD=ACcosC=bcosC知BD=BC-CD=a-bcosC，根据AB²-BD²=AC²-CD²得c²-（a-bcosC）²=b²-（bcosC）²，整理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．

解答 解：（1）$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
如图，作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，

∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC，
则$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
同理可得BE=csinA=asinC，即$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$；

（2）∵在Rt△ACD中，CD=ACcosC=bcosC，
∴BD=BC-CD=a-bcosC，
∵AB²-BD²=AC²-CD²，
∴c²-（a-bcosC）²=b²-（bcosC）²，
整理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义与勾股定理是解题的关键．