Question

10．有一列式子，按一定规律排列成3a，-9a²，27a³，-81a⁴，243a⁵，…．
（1）当a=1时，其中三个相邻数的和是-63，则位于这三个数中间的数是27；
（2）上列式子中第n个式子为（-1）ⁿ⁺¹3ⁿ（n为正整数）．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入已知数列，可以发现该数列的通式为：（-1）ⁿ⁺¹3ⁿ．然后根据限制性条件“三个相邻数的和是-63”列出方程（-1）ⁿ3^n-1+（-1）ⁿ⁺¹3ⁿ+（-1）ⁿ⁺²3ⁿ⁺¹=-63．通过解方程即可求得（-1）ⁿ⁺¹3ⁿ的值；
（2）利用归纳法来求已知数列的通式．

解答 解：（1）当a=1时，则
3=（-1）²×3¹，
-9=（-1）³×3²，
27=（-1）⁴×3³，
…．
则（-1）ⁿ3^n-1+（-1）ⁿ⁺¹3ⁿ+（-1）ⁿ⁺²3ⁿ⁺¹=-63，即-$\frac{7}{3}$（-1）ⁿ⁺¹（-3）ⁿ=-63，
解得（-1）ⁿ⁺¹（-3）ⁿ=27．
故答案是：27；

（2）第n个式子为：+（-1）ⁿ⁺¹3ⁿ（n为正整数）．
故答案是：27；（-1）ⁿ⁺¹3ⁿ．

点评 本题考查了单项式．此题的解题关键是找出该数列的通式．