Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC与BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接DE、BF，则四边形BFDE是什么特殊的四边形？请说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先利用平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAC=∠DCF，进而得出△ABE≌△CDF（AAS），即可得出答案．
（2）由于BE⊥AC，DF⊥AC，根据在同一平面内垂直同一直线的两条直线平行，可得BE∥DF，又由于（1）已证BE=DF，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形AECF为平行四边形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC，
在△ABE和△CDF中，

∠BEA=∠DFC ∠EAB=∠FCD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF．
 （2）解：四边形BFDE是平行四边形，
理由：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∵BE=DF，
∴四边形AECF为平行四边形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABE≌△CDF是解题关键．