Question

已知：如图N1­9，在△ABC中，AB＝AC＝6，cosB＝，⊙O的半径为OB，圆心在AB上，且分别与边AB，BC相交于D，E两点，但⊙O与边AC不相交，又EF⊥AC，垂足为F.

(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)设OB＝x，CF＝y.

①求y关于x的函数关系式；

②当直线DF与⊙O相切时，求OB的长．

图N1­9

Answer 1

解：(1)直线EF与⊙O相切．理由如下：

如图104(1)，连接OE，

则OE＝OB，∠OBE＝∠OEB.

∵AB＝AC，∴∠OBE＝∠C，∴∠OEB＝∠C.

∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴EF⊥OE.

∵点E在⊙O上，∴直线EF与⊙O相切．

(2)①如图104(1)，作AH⊥BC，H为垂足，

那么BH＝BC.

∵AB＝6，cosB＝，∴BH＝2，BC＝4.

∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC.

∴＝，即＝，

∴BE＝.∴EC＝4－x.

在Rt△ECF中，cosC＝cos B＝，

∴CF＝EC·cosC＝×，

∴所求函数的关系式为y＝－x.

   

(1)        　　　 (2)

图104

②如图104(2)，连接OE，DE，OF，

由EF，DF与⊙O相切，

∴FD＝FE，且∠DFO＝∠EFO，

则OF垂直平分DE.

由∠DEB＝90°，∴BC⊥DE.

∴OF∥BC，则四边形OBCF是等腰梯形．

∴OB＝CF，得－x＝x，

解得x＝，即OB＝.