Question

已知：如图N3­8，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)已知PA＝2 ，BC＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

 (1)证明：连接OB，

∴OA＝OB，PA＝PB.

∴∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA.

∴∠PAO＝∠PBO.

又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.

∴∠PBO＝90°，∴OB⊥PB.

又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．

(2)解：连接OP，交AB于点D.

∵PA＝PB，OA＝OB，

∴点P和点O都在线段AB的垂直平分线上．

∴OP垂直平分线段AB.∴AD＝BD.

∵OA＝OC，∴OD＝BC＝1.

∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∠AOP＝∠DAP，

∴△APO∽△DPA.

∴＝.∴AP²＝PO·DP.

∴PO(PO－OD)＝AP².

即PO²－1×PO＝(2 )²，解得PO＝4.

在Rt△APO中，OA＝＝2，

即⊙O的半径为2.