题目内容
【题目】四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．
（1）如图1，四边形
中，
，
，对角线
平分
，求证：是四边形的相似对角线；
（2）如图2，直线
分别与
，
轴相交于
，
两点，
为反比例函数
（
）上的点，若
是四边形
的相似对角线，求反比例函数的解析式；
（3）如图3，是四边形的相似对角线，点
的坐标为
，
轴，
，连接
，
的面积为
．过，两点的抛物线
（
）与轴交于
，
两点，记
，若直线
与抛物线恰好有3个交点，求实数
的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
或
或
；（3）
或
【解析】
（1）设
，则
，然后根据角平分线的性质可求得∠BAC=∠DAC=50°，根据三角形的内角和定理可得
，最后根据相似三角形的判定定理可证
是四边形
的相似对角线；
（2）根据一次函数即可求出点A、B的坐标，再根据锐角三角函数值即可求出
，
，然后根据相似对角线的定义和相似三角形对应角的情况分类讨论，分别利用锐角三角函数求出点P的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（3）根据锐角三角函数和面积公式可得
，然后根据相似对角线的定义即可求出AC，从而求出两个m的值和两条直线的解析式
和
，根据图形可知，一定与抛物线有两个交点，故与抛物线有且仅有一个交点，然后联立方程令一元二次方程的△=0即可求出a的值．
（1）证明：如图1，设，则
∵
，平分
∴∠BAC=∠DAC=
∴
在
和
中
∵
，
∴∽
∴是四边形的相似对角线．
（2）如图2，可求得直线
与两坐标轴的交点分别为
，
∴OA=4，OB=
在Rt△AOB中，
∴，
当
是四边形
的相似对角线时，有如下情况：
①当∠APO=∠AOB=90°时，过点P作PQ⊥x轴于Q，如下图所示，此时又分以下两种情况
（i）当
，
在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2
在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=1，PQ= OP·sin∠AOP=
∴此时点
，将
点坐标代入
，得
∴该反比例函数的解析式为；
（ii）
，
在Rt△OAP中，OP=OA·cos∠AOP=2
在Rt△OPQ中，OQ=OP·cos∠AOP=3，PQ= OP·sin∠AOP=
∴此时点
，将点坐标代入，得
∴该反比例函数的解析式为；
②当∠OAP=∠AOB=90°时，此时又分以下两种情况
（i）当∠AOP=∠OAB=30°时，如下图所示，
∵OA=AO，∠OAP=∠AOB=90°
∴△OAP≌AOB，不符合相似对角线的定义，故舍去；
（ii）当时，如下图所示，
在Rt△OAP中，AP=OA·tan∠AOP=
∴此时点
，将点坐标代入，得
该反比例函数的解析式为；
③当∠AOP=∠AOB=90°时，此时点P在y轴上，故不存在反比例函数图象，故舍去．
综上所述：反比例函数的解析式为或或．
（3）如图3，作
的底边
边上的高
，则
，
∴
在
中，由勾股定理可求得
，
∵
，即
∴
∵是四边形的相似对角线
若
∽
，由CA=CA可得≌，不符合相似对角线的定义，故舍去，
∴∽，
∴
，
∴
∴
，即
由点
的坐标为
可知，点
的坐标为
，
将，两点的坐标代入抛物线
，得
解得
，
，
所以抛物线的解析式可化为
由
，得直线
的解析为,，
∵直线与抛物线
的交点必有两个
∴直线与该抛物线的交点有且只有一个
∴方程组
有且只有一组解
即关于
的一元二次方程
有两个相等的实数根．
∴
，
解得或
