Question

1．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，点P为x轴负半轴上一点，PC交AM于E，若AE=CE，求点P的坐标．

Answer 1

分析 先求出A、C、M的坐标，可知AB=BC，又AE=CE，所以点E在二四象限的角平分线y=-x上，求出直线AM的解析式，再求出y=-x与AM的交点E的坐标，然后求出直线CE的解析式与x轴的交点坐标，即为所求．

解答 解：令y=0，则0=-x²-2x+3，解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴M（-1，4），
∵C（0，3）
∴OA=OC=3，
∵AE=CE，
∴点E在二四象限的角平分线y=-x上，
设直线AM的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴y=2x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=2x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴E（-2，2），
设直线CE的解析式为：y=mx+n，则
$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-2m+n=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+3，
∵直线CE与x轴交于点P，
∴令y=0，则0=$\frac{1}{2}$x+3，
解得：x=-6，
∴P（-6，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、数形结合求交点坐标，通过OA=OC，AE=CE发现点E在y=-x上是解决问题的关键．