Question

10．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM=120度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒．

Answer 1

分析 （1）根据OM恰好平分∠BOC，用∠BOC的度数除以2，求出∠BOM的度数，即可求出∠AOM的度数是多少．
（2）首先根据∠AOM-∠NOC=30°，∠BOC=120°，求出∠A0C=60°，然后根据∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，判断出∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系即可．
（3）首先设三角板绕点O旋转的时间是x秒，根据∠BOC=120°，可得∠AOC=60°，∠BON=∠COD=30°；然后根据旋转60°时ON平分∠AOC，可得10x=60或10x=240，据此求出x的值是多少即可．

解答 解：（1）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=120°÷2=60°，
∴∠AOM=180°-120°=60°．

（2）如图3，，
∠AOM-∠NOC=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠A0C=60°，
∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°．

（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=∠COD=30°，
∴旋转60°时ON平分∠AOC，
∵10x=60或10x=240，
∴x=6或x=24，
即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒．
故答案为：120、6或24．

点评 此题主要考查了角的计算，考查了分类讨论思想的应用，以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握．