Question

11．如图1，在⊙O中，AB、AC是两条弦，过点O作OD⊥AC，垂足为点D，且AB=2OD．
（1）求证：∠A=90°；
（2）如图2，在弦AB的延长线上取一点E，连接CE交⊙O于点F，若$\widehat{AF}=\widehat{CF}$，求证：点F为CE的中点；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点A作AH⊥CF于点H，连接OE交AH于点M，若AM=8，FH=$\frac{7}{2}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，构建两个平行四边形，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得：四边形AOCG是菱形，则AG=OC，再证明四边形ABOG是平行四边形，得：AB∥OG，可得结论；
（2）如图2，由弧相等，则所对的弦相等，由等边对等角得：∠FAC=∠FCA，由直角三角形两锐角互余可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，证明△FMN≌△FMH，得∠MFH=∠MFN，由直角三角形直角边和斜边的关系得：∠FAH=30°，依次求AH、AE、AC的长，最后在直角△ODC中，根据30°的正切得OD的长，从而求AB的长．

解答 证明：（1）如图1，延长OD到G，连接AG、GC、OC、AO、OB，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，
∴四边形AOCG是菱形，
∴AG=OC，
∵OB=OC，
∴AG=OB，
∵AB=2OD，OG=2OD，
∴AB=OG，
∴四边形ABOG是平行四边形，
∴AB∥OG，
∵OG⊥AC，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC=90°；

（2）如图2，连接AF，
∵$\widehat{AF}=\widehat{CF}$，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
由（1）得：∠EAC=90°，
∴∠EAF+∠FAC=90°，
∠AEC+∠FCA=90°，
∴∠EAF=∠AEC，
∴AF=EF，
∴EF=CF；
（3）如图3，连接AF、BF、OA、OF、OC，过O作ON⊥EC于N，
则NF=NC，
∵EF=FC，
∴EN=3FN，
∵AF=FC，OD⊥AC，OA=OC，
∴F、O、D三点共线，
∴∠OFN=∠AEC，
∴tan∠OFN=tan∠AEC=$\frac{AH}{EH}=\frac{ON}{FN}$，
∵tan∠OEN=$\frac{ON}{EN}$=$\frac{ON}{3FN}$，
∴AH=3MH，
即AM+MH=3MH，
AM=2MH，
∵AM=8，
∴MH=4，
∴AH=12，
∴CF=AF=$\sqrt{A{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∴CH=$\frac{25}{2}$-$\frac{7}{2}$=9，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∵∠AOD=∠AFH，
∴tan∠AOD=tan∠AFH=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{AH}{FH}$，
∴$\frac{\frac{15}{2}}{OD}=\frac{12}{\frac{7}{2}}$，
∴OD=$\frac{35}{16}$，
∴AB=2OD=$\frac{35}{8}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了弦心距与弦的关系、圆心角与同弧所对的圆周角的关系、三角函数、直角三角形30°角的性质、等边三角形的性质和判定，难度适中，第3问，作出辅助线，证明∠FAH=30°是关键．