Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为_______．

Answer 1

【答案】或或3

【解析】

分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．

解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，

∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，

∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，

∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，

∴∠ADC＝∠MDG，

∴∠ADM＝∠CDG，

∴△ADM≌△CDG（SAS），

∴∠DAM＝∠DCG＝135°，

∵∠CAB＝45°，

∴∠CAM＝90°，

∴MH＝GH＝＝＝5k，

∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，

∴△DGH∽△AGD，

∴＝，

∴DG2＝GHGA＝40k2，

∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，

∴AB＝AC＝12，

∴AD＝CD＝6，

∵DJ⊥AC，

∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，

∴GJ＝8K﹣3，

在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，

∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，

解得k＝或（舍弃），

∴AH＝3k＝．

②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．

同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，

解得k＝（舍弃）或，

∴AH＝3k＝．

③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．

同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，

解得k＝或﹣3（舍弃），

∴AH＝3k＝3，

综上所述，满足条件的AH的值为或或3．

故答案为或或3．