题目内容
17．在如图（1）所示的平面直角坐标系中，两条经过原点的抛物线y=x2-3x和y=x2-4x与x轴的另一个交点分别为点A，B，顶点分别为K、Q，过点P（m，0）（m＞0）作x轴的垂线，分别交抛物线y=x2-3x和y=x2-4x于点N，M．（1）①请用含m的代数式表示线段MN的长度．
②当m为何值时，在线段OP，PM，PN，MN的四个长度中，其中有三个能围成等边三角形？
（2）直线KQ交x轴于点T，如图（2），小明发现：当3＜m＜4时，△TMN与△OKP始终不能全等．你认为他的说法正确吗？请说明理由．
分析 （1）①由过点P（m，0）（m＞0）作x轴的垂线，分别交抛物线y=x2-3x和y=x2-4x于点N，M，可表示出点M与N的坐标，继而求得线段MN的长度．
②首先求得OP=m，PM=|m2-4m|，PN=|m2-3m|，MN=m，然后分别从当0＜m＜3时与当m≥3时去分析求解即可求得答案；
（2）首先求得K（2，-4），Q（$\frac{3}{2}$，$-\frac{9}{4}$），即可求得直线直线KQ的函数关系为$y=-\frac{7}{2}x+3$，则T（$\frac{6}{7}$，0），再（假设）△TMN与△OKP全等，分别从①情形一：OP，MN是对应边；②情形二：OK与MN是对应边，③情形三：KP与MN是对应边，去分析求解即可求得答案．
解答 解：（1）①∵过点P（m，0）（m＞0）作x轴的垂线，分别交抛物线y=x2-3x和y=x2-4x于点N，M，
∴点M（m，m2-4m），点N（m，m2-3m），
∴MN=（m2-3m）-（m2-4m）=m；
②根据题意得：OP=m，PM=|m2-4m|，PN=|m2-3m|，MN=m，
当0＜m＜3时，若PM=m，则4m-m2=m，得m=3，m=0（舍去）；
若PN=m，则 3m-m2=m，得m=2，m=0（舍去）；
当m≥3时，若PM=m，则m2-4m=m，得m=5，m=0（舍去）；
若 PN=m 则m2-3m=m，得m=4，m=0（舍去）
综上，m=2，3，4，5；
（2）由题意知：K（2，-4），Q（$\frac{3}{2}$，$-\frac{9}{4}$），
∴直线KQ的函数关系为$y=-\frac{7}{2}x+3$，则T（$\frac{6}{7}$，0），
如果（假设）△TMN与△OKP全等，
∵MN=m，OP=m，故OP=MN，
①情形一：OP，MN是对应边，作KH⊥x轴，垂足为H点，
则TP=KH，由TP=m-$\frac{6}{7}$，KH=4，
得$m=4\frac{6}{7}$，不在3＜m＜4的范围内，故舍去．
②情形二：OK与MN是对应边，
∵OK=$2\sqrt{5}$，
∴MN=m=OK=$2\sqrt{5}$，不在3＜m＜4的范围内，故舍去．
③情形三：KP与MN是对应边，
由$\sqrt{{{（m-2）}^2}+{4^2}}$=m，解得 m=5，
不在3＜m＜4的范围内，故舍去．
∴假设不成立，△TMN与△OKP不全等．
点评 此题属于二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求解析式．注意掌握分类讨论思想的应用，注意反证法的应用．
阅读快车系列答案| A． | m＞1 | B． | m＜1 | C． | m≥1 | D． | m=0 |
| A． | -2×5 | B． | -6×（-2） | C． | 0×（-1） | D． | 5×（-3） |
已知A（1，2），B（3，0），将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD（如图），D（4，0），则点C的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=$\frac{1}{x}$，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线与点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究；过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2013=-$\frac{1}{3}$．| A． | a2+a3=a5 | B． | 2a-a=2 | C． | a6÷a3=a2 | D． | （a2）3=a6 |