Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y=$\frac{1}{x}$，在l上取一点A₁，过A₁作x轴的垂线交双曲线与点B₁，过B₁作y轴的垂线交l于点A₂，请继续操作并探究；过A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过B₂作y轴的垂线交l于点A₃，…，这样依次得到l上的点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…记点A_n的横坐标为a_n，若a₁=2，则a₂₀₁₃=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A₁、B₁、A₂、B₂、A₃、B₃…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2014除以3，根据商的情况确定出a₂₀₁₃即可．

解答 解：∵a₁=2，
∴点A₁的纵坐标为-2-1=-3，
点A₁（2，-3），
∵A₁B₁⊥x轴，点B₁在双曲线y=$\frac{1}{x}$，
∴点B₁（2，$\frac{1}{2}$），
∵A₂B₁⊥y轴，
∴点A₂的纵坐标为$\frac{1}{2}$，
-x-1=$\frac{1}{2}$，
解得x=-$\frac{3}{2}$，
∴点A₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
同理可求B₂（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{2}{3}$），
A₃（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），B₃（-$\frac{1}{3}$，-3），
A₄（2，-3），B₄（2，$\frac{1}{2}$），
…，
依此类推，每3次变化为一个循环组依次循环，
∵2013÷3=671，
∴A₂₀₁₃为第671循环组的第三个点，与点A₃重合，
∴a₂₀₁₃=a₃=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．