题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=
m
x
（x＞0）的图象经过点A，B，过点A作x轴的垂线，垂足为点C（1，0）
（1）若△AOC的面积是2，则m的值为
 
；若OB=OA，则点B的坐标是
 
；
（2）在（1）的条件下，AB所在直线分别交x轴，y轴于点M，N，点P在x轴上，PE⊥AB于点E，EF⊥y轴于点F．
①若点P是线段OM上不与O，M重合的任意一点，PM=a，当a为何值时，PM=PF？
②若点P是射线OM上的一点，设P点的横坐标为x，由P，M，E，F四个点组成的四边形的面积面积为y，试写出y与x的函数关系式及x的取值范围．
考点：反比例函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）根据点C的坐标求出OC的长，再根据三角形的面积求出AC的长度，然后写出点A的坐标，再代入反比例函数解析式计算即可求出m的值，设点B的横坐标为x，表示出纵坐标，再利用勾股定理列式表示出OA、OB，然后列出方程求解即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点M的坐标，并得到∠OMN=45°，然后求出△PME是等腰直角三角形，过点E作EG⊥x轴于G，根据等腰直角三角形的性质求出PG、EG，再求出OF、OP，然后利用勾股定理列式求出PF，根据PM=PF列出方程求解即可得到a的值；
②分点P在点M的左边和右边两种情况，根据点P的横坐标表示出PM，根据等腰直角三角形的性质求出EF和点E的纵坐标，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）∵点C（1，0），
∴OC=1，
∴△AOC的面积=
1
2
×1×AC=2，
解得AC=4，
∴点C的坐标为（1，4），
∵反比例函数y=
m
x
（x＞0）的图象经过点A，
∴
m
1
=4，
解得m=4，
设点B的横坐标为x，则点B的纵坐标为
4
x
，
∵OB=OA，
∴
12+42
=
x2+(
4
x
)2
，
两边平方并整理得，x4-17x2+16=0，
解得x1=1（为点A），x2=4，
∴点B的坐标为（4，1）；
故答案为：4，（4，1）；

（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
k+b=4
4k+b=1
，
解得
k=-1
b=5
，
∴直线AB的解析式为y=-x+5，
∴∠OMN=45°，
令y=0，则-x+5=0，
解得x=5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵PE⊥AB，
∴△PME是等腰直角三角形，
过点E作EG⊥x轴于G，
∵PM=a，
∴PG=EG=
1
2
a，
∵EF⊥y轴，
∴OF=
1
2
a，OP=5-a，
由勾股定理得，PF=
OF2+OP2
=
(
1
2
a)2+(5-a)2
，
∵PM=PF，
∴
(
1
2
a)2+(5-a)2
=a，
整理得，a2-40a+100=0，
解得a1=20-10
3
，a2=20+10
3
（舍去）；
故，a=20-10
3
时，PM=PF；

②如图1，若点P在点M的左边，∵P点的横坐标为x，
∴PM=5-x，
∴MG=EG=
1
2
PM=
1
2
（5-x），
∴EF=OG=OM-MG=5-
1
2
（5-x）=
1
2
x+
5
2
，
y=
1
2
（5-x+
1
2
x+
5
2
）×
1
2
（5-x），
=
1
8
x2-
5
2
x+
75
8
，
即y=
1
8
x2-
5
2
x+
75
8
（0＜x＜5），
如图2，若点P在点M的右边时，∵P点的横坐标为x，
∴PM=x-5，
∴MG=EG=
1
2
PM=
1
2
（x-5），
∴EF=OG=OM+MG=5+
1
2
（x-5）=
1
2
x+
5
2
，
y=
1
2
（x-5+
1
2
x+
5
2
）×
1
2
（x-5），
=
3
8
x2-
5
2
x+
25
8
，
即y=
3
8
x2-
5
2
x+
25
8
（x＞5）．
点评：本题是反比例函数综合题型，主要利用了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法一次求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，梯形的面积公式，难点在于（2）②要分情况讨论．
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计算：
（1）（3+
5
）（3-
5
）       
（2）
50
×
8
-21．
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．
④若∠A=120°，则∠BIC=
 
．
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．
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．

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