Question

2．如图，在平面直角坐标系中，已知A（16，0）、B（16，16），C（0，16），D（0，-4），点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB运动到点B停止，过点E且与AD平行的直线l与y轴相交于点F，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）设t=6时，求直线l的函数表达式；
（2）若点E运动t秒后，直线l与x轴相交于点N，且CN=CE，求t的值；
（3）记EF的中点为P，请你探求线段OP随点E运动所形成的图形，说明理由并求其面积．

Answer 1

分析 （1）由t的值确定出AE的长为6，可得出直线l为直线AD向上平移6个单位，利用待定系数法确定出直线AD解析式，利用平移规律确定出直线l解析式即可；
（2）设出直线l解析式，求出直线l与x轴的交点N坐标，由CN=CE，列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值即可；
（3）如图1所示，根据题意表示出E与F坐标，进而表示出中点P坐标，根据题意得到P点作直线运动，分别将P点的起始位置记作：P₁、P₂，进而得到线段OP随点E运动形成的图形为△OP₁P₂，求出即可．

解答 解：（1）当t=6时，AE=6，直线l可以看成直线AD向上平移了6个单位，
设直线AD的表达式为：y=kx+b，
将A（16，0）、D（0，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}16k+b=0\\ b=-4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{4}\\ b=-4\end{array}\right.$，
∴直线AD的表达式为y=$\frac{1}{4}$x-4，
则此时直线l的表达式为y=$\frac{1}{4}$x+2；
（2）由题意得：0＜t≤16，直线l的表达式为y=$\frac{1}{4}$x-4+t，
可得N坐标为（16-4t，0），
∵CN=CE，
∴（16-4t）²+16²=16²+（16-t）²，
整理得：15t²=96t，即3t（5t-32）=0，
∵t≠0，
∴t=$\frac{32}{5}$；                                             
（3）如图1所示，

根据题意得：E（16，t）、F（0，-4+t），
则EF的中点P坐标为（8，t-2），
∴P点作直线运动，分别将P点的起始位置记作：P₁、P₂，
∴线段OP随点E运动形成的图形为△OP₁P₂，
∵0＜t≤16，
∴P₁（8，-2），P₂（8，14），
∴P₁P₂=16，
则△OP₁P₂的面积S=$\frac{1}{2}$×16×8=64．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：平移规律，待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，以及三角形的面积求法，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．