题目内容

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，DC=5，AB= $数学公式$ ，∠B=45°，动点M从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿CDA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，若M、N两点同时出发，当其中一点到达端点（终点）时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）计算点N从C点出发到达终点A所需的时间；
（2）求BC的长；
（3）t为何值时，四边形ABMN为平行四边形；
（4）t为何值时，四边形CDNM为等腰梯形．

解：（1）∵AD+DC=4+5=9，
∴点N从C点出发到达终点A所需的时间是 $\text{[math]}$ =4.5（秒）；

（2）

过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
则AE∥DF，∠AEF=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF=4，AE=DF，
∵在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=4 $\text{[math]}$ ，
∴sin45°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AE=4=BE，
∴DF=AE=4，
在Rt△DFC中，DC=5，DF=4，根据勾股定理得：CF=3，
∴BC=BE+EF+CF=4+4+3=11；

（3）∵AD∥BC，M在BC上，
∴只有N在AD上时才能得出四边形ABMN为平行四边形，如图

∴BM=AN，
即t=9-2t，
t=3，
即t为3秒时，四边形ABMN为平行四边形；

（4）如图，∵只有当N在AD上，四边形CDNM才能是等腰梯形，

过N作NQ⊥BC于Q，
∴NQ∥DF，
∵AD∥BC，∠DFB=90°，
∴四边形DNQF是矩形，
∴NQ=DF=4，DN=QF=2t-5，
∵四边形DNMC是等腰梯形，
∴MN=CD=5，
由勾股定理得：MQ=CF=3，
∵BC=BM+MQ+QF+CF，
∴11=t+3+2t-5+3，
t= $\text{[math]}$ ，
即t为 $\text{[math]}$ 秒时，四边形CDNM为等腰梯形．
分析：（1）求出AD+DC，即可求出答案；
（2）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出EF=AD=4，AE=DF=4，根据勾股定理求出BE和CF，即可求出BC；
（3）根据平行四边形的性质得出AN=MB，代入得出9-2t=t，求出即可；
（4）过N作NQ⊥BC于Q，求出MQ，QF，FC，根据BC=11代入求出即可．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，等腰梯形性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点的综合运用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了运动观点．