Question

3．已知关于x的函数y=mx²-2x+1（0≤x＜2），下列说法中，正确的是（　　）

• A． 当m=0时，没有最小值
• B． 当m≥1时，y_max=4m-3
• C． 当m＜0时，y_max=1-$\frac{1}{m}$
• D． 当$\frac{1}{2}$≤m＜1时，y_min=1

Answer 1

分析 先求二次函数的顶点坐标；
A、当m=0时，是一次函数，-2＜0，y随x的增大而减小，得结论；
B、当m≥1时，是二次函数，在0≤x＜2范围内，没有最大值；
C、当m＜0时，是二次函数，在0≤x＜2范围内，有最大值为1；
D、当$\frac{1}{2}$≤m＜1时，在0≤x＜2范围内，有最大值为1；

解答 解：顶点坐标x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2m}$=$\frac{1}{m}$，y=$\frac{4m-4}{4m}$=1-$\frac{1}{m}$；
A、当m=0时，函数为y=-2x+1（0≤x＜2），当x=2时，有最小值y=-3，但此函数取值不包含2，所以没有最小值，所以此选项正确；
B、当m≥1时，抛物线开口向上，0＜$\frac{1}{m}$≤1，0≤1-$\frac{1}{m}$≤1，顶点在第一象限，
函数为y=mx²-2x+1（0≤x＜2），当x=2时，有最大值，y_max=4m-3，但此函数取值不包含2，所以此选项错误；
C、当m＜0时，开口向下，$\frac{1}{m}$＜0，1-$\frac{1}{m}$＞0，
则对称轴在y轴左侧，顶点在第二象限，
当0≤x＜2时，y_max=1，所以此选项错误；
D、当$\frac{1}{2}$≤m＜1时，$\frac{1}{m}$＞1，1-$\frac{1}{m}$＜0，顶点在第四象限，对称轴在y轴右侧，开口向上，
当0≤x＜2时，y_max=1，所以此选项错误；
故选A．

点评 本题是函数的最值问题，难度较大，不容易理解，最好结合图形，利用数形结合的思想；确定最值时，如果是二次函数，要确定其对称轴位置及顶点坐标和开口方向，知道的信息越多越容易确定，准确率也越高．