Question

14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．

Answer 1

分析 延长AD到G，使得DG=AD，先证明△ADC≌△GDB，得AC=BG，证明BG=BF即可解决问题．

解答 证明：延长AD到G，使得DG=AD．
在△ADC和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=GD\\∠ADC=∠GDB\\ CD=BD\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△GDB，
∴AC=BG 且∠CAD=∠G
∵AE=EF，
∴∠EFA=∠EAF，
∴∠G=∠EFA，
∵∠EFA=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BG=BF，
∵AC=BG，
∴BF=AC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．