Question

如图所示，△ABC中，BC＝4，∠B＝，AB＝3，M、N分别为AB、AC上的点，MN∥BC，并设MN＝x，△MNC的面积为S．

(1)求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)是否存在平行线段MN，使△MNC的面积等于2．若存在，求出MN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过A点作AD⊥BC，垂足为D，则有AD＝×3＝3． 　　设△MNC的边MN上的高为h． 　　∵MN∥BC．∴＝， 　　∴h＝． 　　∴S＝MN·h＝x· 　　＝－x2＋x(0＜x＜4)． 　　(2)若存在这样的平行线段MN，使S△MNC＝2，则方程－x2＋x－2＝0必有实数解，即方程3x2－12x＋16＝0必有实数解．但因该方程的判别式Δ＝122－4×3×16＝－48＜0，说明它没有实数根．矛盾！所以不存在这样的平行线MN使S△MNC＝2．

提示：

第(1)小题求S与x的函数关系式，只需把x看作一个确定的值，在题设以及MN＝x的条件下，求△MNC的面积，得到的结果是一个含x的表达式，把x看作变量，这个表达式就是S与x的函数关系式．一般地说，在求函数关系式时，可以把自变量x看作一个确定的值，由此求出因变量y的值，得到的表达式就是y与x的函数关系式． 　　自变量x的取值范围是使函数关系有意义的自变量的值的全体，本题中要在题设条件下构成△MNC，x的取值范围只能是0与4之间的一切实数． 　　第(2)小题相当于问：是否存在x使S＝2，这就成了一个十分简单的关于二次方程求解的问题． 　　本题不难，但涉及函数概念以及几何、代数、三角中的多个知识点，是一道较好的综合题．