题目内容

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（-4，0），点B在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）连接DP，猜想△APD的形状，并加以说明；
（2）当点P运动到点 $数学公式$ 时，求此时DP的长；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于 $数学公式$ ？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）等边三角形，
理由是：∵把△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
∴AP=AD，∠OAP=∠DAB，
∵等边三角形AOB，
∴∠BAO=60°=∠OAP+∠PAB，
∴∠DAP=60°，
即△APD的形状是等边三角形．

（2）∵等边△APD，
∴DP=AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）设P（0，t），假设存在P点，使△OPD的面积等于 $\text{[math]}$ ．下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG= $\text{[math]}$ t，
∴DH=2+ $\text{[math]}$ t．
∵△OPD的面积等于 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ t（2+ $\text{[math]}$ t）= $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去），
∴点P₁的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）．

②当 $\text{[math]}$ ＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=- $\text{[math]}$ t，
∴DH=2-（- $\text{[math]}$ t）=2+ $\text{[math]}$ t．
∵△OPD的面积等于 $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ t（2+ $\text{[math]}$ t）= $\text{[math]}$ ，
解得 t₁=- $\text{[math]}$ ，t₂=- $\text{[math]}$ ，

∴点P₂的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），点P₃的坐标为（0，- $\text{[math]}$ ）．
③当t≤ $\text{[math]}$ 时，如图，BD=OP=-t，DG=- $\text{[math]}$ t，
∴DH=- $\text{[math]}$ t-2．
∵△OPD的面积等于 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ t（2+ $\text{[math]}$ t）= $\text{[math]}$ ，
解得 t₁= $\text{[math]}$ （舍去），t₂= $\text{[math]}$ ，
∴点P₄的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
综上所述，点P的坐标分别为P₁（0， $\text{[math]}$ ）、P₂（0， $\text{[math]}$ ）、P₃（0，- $\text{[math]}$ ）、P₄（0， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据旋转的性质可得，AD=AP，旋转角∠OAB=∠PAD=60°，即可得出；
（2）由AP=PD，所以，根据勾股定理求出AP的长，即可得出；
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（0，t）：①当P在y轴正半轴上时，即t＞0时，在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．②当P在y轴负半轴，但D在x轴上方时．即 $\text{[math]}$ ＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角△DBG用BD的长表示出DG，进而求出HD的长；③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤ $\text{[math]}$ 时，方法同②．
点评：本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质和二次函数的性质，关于动点问题，注意分类讨论解答．