Question

10．在△ABC中，过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作AF⊥AC交BC于点F，在AB上取点E，使得AD=AE，过点E作EG⊥AB交AF延长线于点G．
（1）如图1，当∠CAD=30°，AD=2时，求△AEG的面积；
（2）如图2，当AF=AE时，求证：AG+EG=AB．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠EAG=∠CAD=30°，在Rt△AEG中，解直角三角形即可解决问题；
（2）以A为圆心AB为半径作⊙A，延长AG交⊙A于H，连接EH交BC于O．只要证明GE=GH即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵AD⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAD=∠CAF=90°，
∴∠EAG=∠CAD=30°，
∵EG⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∵AD=AE=2，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△AEG的面积=$\frac{1}{2}$AE•EG=$\frac{1}{2}×$2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）以A为圆心AB为半径作⊙A，延长AG交⊙A于H，连接EH交BC于O．

∵AE=AF，∠EAH=∠FAB，AH=AB，
∴△EAH≌△FAB，
∴∠B=∠H，
∵∠BAD=∠CAF=90°，
∴∠BAG=∠CAD，
∵AF=AD=AE，
∴∠AFD=∠ADF，
∴∠B+∠BAF=∠C+∠DAC，
∴∠B=∠C=∠H，
∵∠CFA=∠HFO，
∴∠HOF=∠CAF=90°，
∵EG⊥AB，
∴∠BEG=90°，
∵∠GEH+∠BEH=90°，∠BEH+∠B=90°，
∴∠B=∠GEH=∠H，
∴EG=GH，
∴AG+GE=AG+GH=AH=AB，
∴AG+EG=AB．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．