Question

5．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=6，以AB为边作△ABD，使△ABD与△ABC相似，则在△ABC所在的平面内共存在这样的点D（不与C重合）共有（　　）

• A． 7个
• B． 9个
• C． 11个
• D． 12个

Answer 1

分析 先计算直角三角形两直角边的比为1：2，分五种情况画图：
①如图1，BD：AB=1：2时，有两个D点，此时AB与BC对应；
②如图2和图5是与△ABC相似比为1时，有3个D点；
③如图3，AD：AB=1：2时，有两个D点，此时AB与BC对应；
④如图4，根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径画圆，圆周上有4个D点．

解答 解：∵AB=3，BC=6，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
①当△ABD∽△CBA时，如图1，BD₁=BD₂=$\frac{3}{2}$，则$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$，
存在2个D点；
②当△ABD∽△ABC时，且相似比为1，如图2，存在1个D点；
③当△ABD∽△BCA时，如图3，AD₄=AD₅=$\frac{3}{2}$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
存在2个D点；
④以AB为直径作圆，与AC交于D₉，连接BD₉，过B作BD₇⊥BD₉，交圆于D₇，同理可得D₆和D₈；
此时△ABD∽△CAB，存在4个D点；
⑤当△ABD∽△BAC时，且相似比为1，如图5，存在2个D点；
综上所述，在△ABC所在的平面内共存在这样的点D（不与C重合）共有11个，
故选C．

点评 本题考查了直角三角形相似的判定、圆周角定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是关键，采用分类讨论的思想，做到不重不漏．