Question

15．已知正比例函数y=k₁x和一次函数y=k₂x+b的图象相交于点A（8，6），一次函数与y轴交于点B，且$|{OB}|=\frac{2}{5}|{OA}|$．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求出 y=k₂x+b图象与坐标轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据（8，6）求出正比例函数，让根据勾股定理可求出OA，再根据条件即可求出OB的长度，从而求出一次函数的解析式；
（2）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．

解答 解：∵y=k₁x的图象经过点A（8，6）
∴6=8k₁
∴${k_1}=\frac{3}{4}$
∴$y=\frac{3}{4}x为所求的正比例函数$
又∵y=k₂x+b的图象经过点A（8，6）
∴6=8k₂+b
又∵$OA=\sqrt{{8^2}+{6^2}}=10$
$OB=\frac{2}{5}OA=\frac{2}{5}×10=4$
又∵y=k₂x+b的图象与y交于点B
∴点B的坐标为：B（0，4）或B（0，-4）
∴b=±4
把b=±4分别代入6=8k₂+b，
得${k_2}=\frac{1}{4}或{k_2}=\frac{5}{4}$
∴$y=\frac{1}{4}x+4或y=\frac{5}{4}x-4$
（2）当一次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+4时，
令x=0代入y=$\frac{1}{4}$x+4，
∴y=4，
令y=0代入y=$\frac{1}{4}$x+4，
∴x=-16，
∴与坐标轴围成的三角形面积为：$\frac{1}{2}$×16×4=32，
同理可求得：当一次函数的解析式为y=$\frac{5}{4}$x-4时，
与坐标轴围成的三角形面积为：$\frac{32}{5}$

点评 本题考查一次函数的解析式，涉及待定系数法，三角形面积公式等知识．