Question

19．如图，已知AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD与AC交于E．求证：DC²=DE•DB．

Answer 1

分析 作AF⊥BC于F，DM⊥BC于M，由AD∥BC，得到AF=DM，根据等腰直角三角形的性质得到AF=$\frac{1}{2}$BC，得到DM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD，求出∠1=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BDC=∠BCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，求得∠DEC=∠1+∠ACB=30°+45°=75°=∠BCD，得到△CED∽△BCD，于是得到结论．

解答 解：如图，作AF⊥BC于F，DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，
∴AF=DM，
在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴AF=$\frac{1}{2}$BC，
又∵DM=AF，BD=BC，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠1=30°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠DEC=∠1+∠ACB=30°+45°=75°=∠BCD，
∴△CED∽△BCD，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴DC²=DE•DB．

点评 本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．