Question

8．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，过D作DF⊥BE于F．
（1）求证：BD=DE；
（2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状．
（2）根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得出DC=2FC，BC=2DC，从而证得BF=3FC．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE；
（2）BF=3FC；
证明：∵DF⊥BE，∠BCD=60°，
∴DC=2FC，
∵BD⊥AC，∠DBC=30°，
∴BC=2DC，
∴BC=4FC，
∴BF=3FC．

点评 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．