Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°。点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF。

（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。

 

Answer 1

解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t，又∵AE=t，∴AE=DF；…………2分

（2）能；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，又AE=DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，………………3分

设AB= x,则AC=2x,∴x²+(5)²=(2x)^{2 ,}∴x=5∴AC=10，AB=5，

∴AD=AC-DC=10-2t，

若使为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=，…………4分

即当t=时，四边形AEFD为菱形；…………5分

（3）①当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，∴DE∥BF

∴∠ADE=∠C=30°，∠DEA=90°

∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=；  …………6分

②当∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=90°-∠C=60°，∠AED=30°，

∴AD=AE，即10-2t=t，t=4； …………8分

综上所述，当t=或4时，△DEF为直角三角形。…………9分