Question

7．阅读并解决问题：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1，$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，…，
（1）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$
（2）已知：x=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求x²-4x-1．

Answer 1

分析 （1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；
（2）求出x的值，变形后代入求出即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$
=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+…+$\frac{\sqrt{9}-\sqrt{8}}{（\sqrt{9}+\sqrt{8}）（\sqrt{9}-\sqrt{8}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{9}$-$\sqrt{8}$
=$\sqrt{9}$-1
=3-1
=2；

（2）∵x=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$，
∴x²-4x-1
=（x-2）²-5
=（2-$\sqrt{3}$-2）²-5
=3-5
=-2．

点评 本题考查了分母有理化的应用，能正确根据平方差公式分母有理化是解此题的关键，难度适中．