Question

如图，在长方形OABC中，点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），点D是线段BC上的动点（与端点B不重和），过点D作直线y=-2x+b交折线OAB于点E．
（1）当点D为线段BC的中点时，求b的值；
（2）当点E在线段OA上时，记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（3）探究△ODE的面积是否存在最大值，若存在，求出此时D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）当D为BC中点时，可求得D点坐标，代入直线y=-2x+b可求得b的值；
（2）在直线y=-2x+b中令y=0可用b表示出OE的长度，进一步可表示出△DOE的面积，可得到S和b的关系式；
（3）由条件可知当OE最大时，△ODE的面积最大，此时可求得其最大值，代入直线y=-2x+b可求得b，则可求得D的坐标．

解答：解：（1）∵A、C的坐标分别为（6，0）、（0，4），
∴B的坐标为（6，4），
∴当D为BC中点时，其坐标为（3，4），
又∵D点在直线y=-2x+b上，代入可得4=-6+b，
解得b=10，
即当D为BC中点时，b的值为10；
（2）在y=-2x+b中令y=0可得：0=-2x+b，解得x=

b

2

，
∴E点坐标（

b

2

，0），
∴OE=

b

2

，
又∵OA∥BC，
∴D到OE的距离为OC，即△ODE底边OE上的高为4，
∴S=

1

2

•

b

2

×4=b；
即S与b的关系式为：S=b；
（3）∵D到OE的距离为4，
∴当OE最大值，△ODE的面积最大，此时OE=OA=6，
∴S_max=

1

2

×6×4=12，
由（2）可知此时b=12，
∴直线解析式为y=-2x+12，
又∵D点的纵坐标y=4，代入可得4=-2x+12，解得x=4，
∴此时D点的坐标为（4，4）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和矩形的性质、三角形的面积等知识的综合应用，在（1）中确定出D点的坐标是解题的关键，在（2）中利用b表示出OE的长度是解题的关键，在（3）中确定出当△ODE面积有最大值时E点的位置是解题的关键．本题难度不大，属于基础性知识的综合，注重了基础知识的考查．