Question

矩形ABCO的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在AB上，反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=

1

2

（1）求点B的坐标；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交与点F．求证：△BEF∽△ABO．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由四边形ABCO是矩形，点E（4，n）在AB上，可求得点A的坐标，又由tan∠BOA=

1

2

，即可求得AB的长，则可求得点B的坐标；
（2）由点D为对角线OB的中点，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，又由点E（4，n）在AB上，反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，则可求得n的值；
（3）首先求得点F的坐标，即可求得BE，BF的长，继而可得

BF

OA

=

BE

AB

=

3

4

，∠EBF=∠BAO=90°，则可证得：△BEF∽△ABO．

解答：解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点E（4，n）在AB上，
∴点A（4，0），
∴OA=4，
∵tan∠BOA=

1

2

，
∴AB=

1

2

OA=2，
∴点B（4，2）；

（2）∵点D为对角线OB的中点，
∴点D（2，1），
∴1=

k

2

，
解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=

2

x

；
∵反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限内的图象经过点E，
∴n=

2

4

=

1

2

；

（3）∵反比例函数的图象与矩形的边BC交与点F，
∴F的纵坐标为：2，
∴2=

2

x

，
解得：x=1，
∴点F（1，2），
∴BE=2-

1

2

=

3

2

，BF=4-1=3，
∵OA=4，AB=2，
∴

BF

OA

=

BE

AB

=

3

4

，
∵∠EBF=∠BAO=90°，
∴△BEF∽△ABO．

点评：此题属于反比例函数的综合题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．