Question

19．如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S_△EBC=1，其中正确的有①③④．

Answer 1

分析 连接DC，证△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC；再证△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°；其它两个条件运用假设成立推出答案即可．

解答 证明：连接DC，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60，
∵DB=DA，DC=DC，
在△ACD与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{DB=DA}\\{DC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCD  （SSS），
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，
在△BED与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠DBE=∠DBC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BCD  （SAS），
∴∠BED=∠BCD=30°．
由此得出①③正确．
∵EC∥AD，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，
∵BE=BA，
∴BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，
在△BCE中三角和为180°，
∴2∠1+2（60°+∠1）=180°
∴∠1=15°，
∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．
BE边上的高位$\frac{1}{2}$BC=1，
∴S△EBC=1，结论④是正确的．
故答案为：①③④

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．