题目内容
【题目】如图 1，在直角三角形 ABC 中， BAC 90°, AD 为斜边 BC 上的高线．
（1）求证： AD 
BD CD ；
（2）如图 2，过 A 分别作BAD，DAC 的角平分线，交 BC 于 E, M 两点，过 E 作 AE 的垂线， 交 AM 于 F ．
①当tan C 
时，求
的值；
② 如图 3 ，过 C 作 AF 的垂线 CG ，过 G 点作 GN // AD 交 AC 于 M 点， 连接 MN ．若EAD 15°， AB 1，直接写出 MN 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）①
；②
【解析】
（1）根据直角三角形的性质和同角的余角相等证出∠B=∠DAC，再根据相似三角形的判定定理证出△BDA∽△ADC，列出比例式变形即可得出结论；
（2）①分别过点E、M作EP⊥AB于P，作MQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质可得PE=ED，DM=MQ，然后利用tan∠BAD=tanC，可设BD=9a，利用锐角三角函数分别用a表示出ED和DM即可求出结论；
②设NG与CM交于点H，先证出△ABM为等边三角形，∠GMH=∠AMB=60°，可得AB=AM=BM=1，然后利用锐角三角函数分别求出MH和NH，最后利用勾股定理即可求出结论．
解：（1）∵在直角三角形 ABC 中， BAC 90°, AD 为斜边 BC 上的高线
∴∠BDA=∠ADC=∠BAC=90°
∴∠B＋∠BAD=90°，∠DAC＋∠BAD=90°
∴∠B=∠DAC
∴△BDA∽△ADC
∴
∴AD
BD CD
（2）①分别过点E、M作EP⊥AB于P，作MQ⊥AC于Q
∵AE平分∠BAD，AF平分∠DAC，AD 为斜边 BC 上的高线，
∴PE=ED，DM=MQ
∵在直角三角形 ABC 中， BAC 90° , tan C 
∴∠BAD＋∠DAC=90°，∠C＋∠DAC=90°
∴∠BAD=∠C
∴tan∠BAD=tanC
∴
设BD=9a，则AD=12a，DC=16a，BE=BD－ED=9a－ED，CM=DC－DM=16a－DM
利用勾股定理可得AB=
，AC=
∴sinB=
，sinC=
∴
，
即
，
解得：ED=4a，DM=6a
∴
=
=
②设NG与CM交于点H
∵EAD 15°，AE平分∠BAD
∴∠BAD=2∠EAD=30°
∴∠DAC=∠B=90°－∠BAD=60°，∠C=∠BAD=30°
∴BC=2AB=2
∵AM平分∠DAC
∴∠DAM=∠MAC=∠DAC=30°
∴∠BAM=∠BAD＋∠DAM=60°
∴∠AMB=180°－∠BAM－∠B=60°
∴△ABM为等边三角形，∠GMH=∠AMB=60°
∴AB=AM=BM=1
∴CM=BC－BM=1
∵CG⊥AF，GN∥AD
∴∠CGM=90°，∠GHM=∠ADC=90°
在Rt△MGC中，MG=CM·cos∠GMH=
在Rt△MHG中，MH=MG·cos∠GMH=
∴CH=CM－MH=
在Rt△CNH中，NH=CH·tanC=
根据勾股定理可得MN=
=
【题目】名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：
x（元/斤） | 450 | 500 | 600 |
y（斤） | 350 | 300 | 200 |
（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；
（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．
