题目内容
【题目】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦且与AB交于点E（E不与O重合），CE＝DE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G．
（1）如图1，求证：∠CFD＝2∠BAD；
（2）如图2，过点B作BN⊥CF于点N，交⊙O于点M，求证：FN＝CN+DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若∠Q＝∠ADF，HE＝
BE，AQ＝2DG＝10，求线段PN的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）NP＝
【解析】
（1）利用垂径定理证明
，推出
，再根据圆周角定理即可证明；
（2）如图2中，连接
，
，在
上截取
，连接
．证明
即可解决问题；
（3）如图3中，由
可设
，
，由
是
重心知
， 
，求出a值，过点H作HS⊥AC于S，过A作AK⊥CQ于K，求出CS，CH，HS，从而得出tan∠ACQ，设AK=t，在△ACK中，求出t值，得到CK和CQ，设CN=m，在△BCH中，利用勾股定理求出m，根据同弧所对圆周角相等得出∠Q＝∠ACQ，在Rt△PNQ中，求出PN值.
解:（1）证明：如图1中，连接AC．
∵AB是⊙O直径，CE＝DE，
∴AB⊥CD，
∴，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵∠CFD＝∠CAD，
∴∠CFD＝2∠BAD；
（2）如图2中，连接BC，BD，在FC上截取FK＝FD，连接BK．
∵，
∴BC＝BD，∠BFD＝∠BFK，
∵FK＝FD，FB＝FB，
在△BFD和△BFK中，
，
∴△BFD≌△BFK（SAS），
∴BK＝BD，
∴BC＝BK，
∵BN⊥CK，
∴CN＝NK，
∴FN＝FK+KN＝DF+CN；
（3）如图3中，连接AC，AF．
，
设，，
由题意知点是重心，
，，
连接，由射影定理知
，
解得
，
，，，
在Rt△ADE中，由勾股定理可求得
，
，
，
，
，AH=
，BC=
，
过点H作HS⊥AC于S，过A作AK⊥CQ于K，
则HS=AH×CE÷AC=
，
∴CS=
，CH=
=
，
，
设AK=t，
∴CK=
，在△ACK中，
，
解得：t=
或
（舍），
，
∴
，
设CN=m，则NH=-m，
在△BCH中，
，
解得：m=
或36（舍），
∴
，
，
∵∠Q＝∠ADF，∠ACQ=∠ADF，
∴∠Q＝∠ACQ，
在Rt△PNQ中，
，
，
．
