Question

16．如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．
（1）求∠BCD的度数；
（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD'≌△CAE．

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角性质，即可得到∠BCD=∠ADC-∠CBA=15°；
（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠CC'B=∠C'CB=75°；
②先根据AC=C'B，∠C'BD'=∠A，得出∠CEB=∠C'CB-∠CBA=45°，进而得到∠ACE=∠CEB-∠A=15°，据此可得∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，运用ASA即可判定△C'BD'≌△CAE．

解答 解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，
∴∠CBA=∠CAB=30°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BCD=∠ADC-∠CBA=15°=∠BC'D'；

（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，
∴∠CC'B=∠C'CB=75°；
②证明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，
∴∠CEB=∠C'CB-∠CBA=45°，
∴∠ACE=∠CEB-∠A=15°，
∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，
在△C'BD'和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BC'D'=∠ACE}\\{AC=C'B}\\{∠C'BD'=∠A}\end{array}\right.$，
∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．

点评 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形判定与性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解题时注意：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．