Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且AO：OH=2：1
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
（3）若平面坐标系中另有点D，使以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
温馨提示：在平面直角坐标系中以任意两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）为端点的线段中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=2x+2与y轴交于A点，可求得点A的坐标，又由AO：OH=2：1，求得点M的横坐标，继而求得点M的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式；
（2）首先作点N关于x轴的对称点，连接MN′与x轴的交点，即为点P，然后利用待定系数法求得直线MN′的解析式，继而求得点P的坐标；
（3）首先求得直线AN的解析式为：y=-

1

4

x+2，直线AM的解析式为：y=2x+2，直线MN的解析式为：y=-x+5，又由以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形，可得直线D₁D₂的解析式为：y=-

1

4

x+

17

4

，直线D₁D₃的解析式为：y=2x-7，直线D₂D₃的解析式为：y=-x+2，然后由交点坐标即可．

解答：解：（1）∵直线y=2x+2与y轴交于A点，
∴点A（0，2），
即AO=2，
∵AO：OH=2：1，
∴OH=1，
把x=1代入y=2x+2得：y=4，
∴点M（1，4），
∴把M代入反比例函数y=

k

x

，得：k=xy=4；

（2）存在．
∵把y=1代入反比例函数y=

4

x

得：x=4，
∴点N（4，1），
如图，点N关于x轴的对称点为：N′（4，-1），
则MN′与x轴的交点即为P，
设直线MN′的解析式为：y=kx+b，
得：

k+b=4 4k+b=-1

，
解得：

k=- 5 3 b= 17 3

，
∴直线MN′的解析式为：y=-

5

3

x+

17

3

，
当y=0时，解得：x=

17

5

，
∴点P（

17

5

，0）；

（3）如图，直线AN的解析式为：y=-

1

4

x+2，直线AM的解析式为：y=2x+2，直线MN的解析式为：y=-x+5，
∵以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D₁D₂的解析式为：y=-

1

4

x+

17

4

，直线D₁D₃的解析式为：y=2x-7，直线D₂D₃的解析式为：y=-x+2，
联立：

y=- 1 4 x+ 17 4 y=2x-7

得：D₁（5，3）；
同理可得：D₂（-3，5），D₃（3，-1）．
综上所述：所有符合条件的点D的坐标为：D₁（5，3），D₂（-3，5），D₃（3，-1）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质以及最短距离问题．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．