Question

8．如图，直线l₁：y=2x和直线l₂：y=kx+b交于C点，A（0，2），B（4，0）．
（1）求k和b的值；
（2）直接说出kx+b≤0时，x的取值范围；
（3）判断△OBC的形状，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得即可；
（2）根据函数的图象即可求得；
（3）先求得交点C的坐标，然后根据勾股定理分别求得OB=4，OC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，因为OC²+BC²=OB²，根据勾股定理的逆定理即可证得△OBC是直角三角形．

解答 解：（1）∵A（0，2），B（4，0）是直线直线l₂上的点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）∵B（4，0）．
∴根据图象可知：kx+b≤0时，x的取值范围为x≥4；
（3）∵k=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴直线l₂：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
与直线l₁：y=2x联立方程为$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∴OB=4，OC=$\sqrt{（{\frac{4}{5}）}^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BC=$\sqrt{（4-\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴OC²+BC²=$\frac{80}{25}$+$\frac{320}{25}$=16，OB²=16，
∴OC²+BC²=OB²，
∴△OBC是直角三角形．

点评 本题考查了两直线相交的问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，勾股定理的应用以及一次函数和不等式关系的应用等，一定要熟练掌握并灵活运用．