题目内容

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点C（0，-2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值；
（3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，-
5
3
），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：
①求点F的坐标；
②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点B的坐标；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．先由ME∥y轴，得出△AME∽△AOC，根据相似三角形对应边的比相等得出
ME
OC
=
AM
AO
=
1
2
，于是ME=
1
2
OC=1．再根据△OCD≌△BED，得到OC=BE=2，于是BM=BE+ME=3，即-
1
m
=-3，进而求出m的值；
（3）由（2）得抛物线的解析式为y=
1
3
x2-2x，其对称轴是x=3，A（6，0）．
①将N（n，-
5
3
）代入y=
1
3
x2-2x，求出n的值，得到N点坐标．由于四边形ONGF中，边ON与FG为定值，所以当NG+OF最小时，四边形ONGF的周长最小．于是可将点N向上平移1个单位得到N′（1，-
2
3
），连结AN′，与对称轴的交点即为所求点F．在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，根据两点之间线段最短可知此时得到的四边形ONGF的周长最小．运用待定系数法求出直线AN′的解析式，将x=3代入，求出y的值，进而得到点F的坐标；
②N（1，-
5
3
），F（3，-
2
5
），设H（0，y）．分两种情况讨论：
Ⅰ）当NF为平行四边形的边时，
如果NFHP为平行四边形，由点F向左平移3个单位横坐标为0，求得点P的横坐标为1-3=-2，将x=-2代入y=
1
3
x2-2x，
求出P点坐标（-2，
16
3
），那么N点先向左平移3个单位，再向上平移
16
3
-（-
5
3
）=7个单位到点P，依此求出H点纵坐标为-
2
5
+7=
33
5
，进而得到H点坐标为（0，
33
5
）；
如果NFPH为平行四边形，同理求出H点坐标为（0，-
59
15
）；
Ⅱ）当NF为平行四边形的对角线时，先求出NF的中点坐标，再根据H与P关于这个中点坐标对称，求出H点坐标为（0，
3
5
）．
解答：解：（1）∵y=mx2-2x=m（x-
1
m
）2-
1
m
，
∴顶点B的坐标为（
1
m
，-
1
m
）；

（2）∵点C（0，-2），
∴OC=2．
设抛物线的对称轴与x轴交于点M．
∵ME∥y轴，
∴△AME∽△AOC，
∴
ME
OC
=
AM
AO
=
1
2
，
∴ME=
1
2
OC=1．
∵△OCD≌△BED，
∴OC=BE=2，
∴BM=BE+ME=3，
∴-
1
m
=-3，
∴m=
1
3
；

（3）由（2）得抛物线的解析式为y=
1
3
x2-2x，其对称轴是直线x=3，A（6，0）．
①∵点N（n，-
5
3
）在此抛物线上，
∴-
5
3
=
1
3
n2-2n，
解得n1=1，n2=5．
∵点N在对称轴的左侧，
∴n=1，
∴N（1，-
5
3
）．
将点N向上平移1个单位得到N′（1，-
2
3
），连结AN′，与对称轴的交点即为所求点F．在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，可知此时得到的四边形ONGF的周长最小（由N′F′+AF′＞AN′，可得NG′+OF′＞NG+OF）．
设直线AN′的解析式为y=kx+b，
把N′（1，-
2
3
），A（6，0）代入，
得
k+b=-
2
3
6k+b=0
，解得
k=
2
15
b=-
4
5
，
∴y=
2
15
x-
4
5
．
∵点F是AN′与对称轴是直线x=3的交点，
∴F（3，-
2
5
）；

②N（1，-
5
3
），F（3，-
2
5
），设H（0，y）．
分两种情况讨论：
Ⅰ）当NF为平行四边形的边时，FH∥NP，FH=NP．
如果NFHP为平行四边形，
∵点F向左平移3个单位横坐标为0，
∴点P的横坐标为1-3=-2，
当x=-2时，y=
1
3
x2-2x=
1
3
×（-2）2-2×（-2）=
16
3
，
∴P（-2，
16
3
），
∴N点先向左平移3个单位，再向上平移
16
3
-（-
5
3
）=7个单位到点P，
∴H点纵坐标为-
2
5
+7=
33
5
，
∴H点坐标为（0，
33
5
）；
如果NFPH为平行四边形，
∵点N向左平移1个单位横坐标为0，
∴点P的横坐标为3-1=2，
当x=2时，y=
1
3
x2-2x=
1
3
×22-2×2=-
8
3
，
∴P（2，-
8
3
），
∴F点先向左平移1个单位，再向下平移-
2
5
-（-
8
3
）=
34
15
个单位到点P，
∴H点纵坐标为-
5
3
-
34
15
=-
59
15
，
∴H点坐标为（0，-
59
15
）；
Ⅱ）当NF为平行四边形的对角线时，
∵NF的中点坐标为（2，-
31
30
），
∴HP的中点坐标为（2，-
31
30
），
∵H（0，y），
∴点P的横坐标为4，
当x=4时，y=
1
3
x2-2x=
1
3
×42-2×4=-
8
3
，
∴P（4，-
8
3
），
∴H点纵坐标为2×（-
31
30
）-（-
8
3
）=
3
5
，
∴H点坐标为（0，
3
5
）；
综上所述，所求H点坐标为（0，
33
5
）或（0，-
59
15
）或（0，
3
5
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线的顶点坐标求法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，轴对称的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
练习册系列答案
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若m是正整数，则
1m
2
+
(-1)m
2
的值（　　）
A、是0B、是1或-1
C、是-1或0D、是1或0
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（-4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．
（1）若|a|=2，b=-3，c是最大的负整数，求a+b-c的值；
（2）已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，化简：|b-a|+|a+b|-|-b|．
如图，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，求对角线AC的长．
（1）2
3
（
27
-9
1
27
+
20
）             
（2）a2
8a
+3a
50a3
-
3
2
18a3
．
如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且
OB
BC
=
1
2
．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是
1
4
；当S△AOB=
1
4
时，求直线OA的解析式．
在数轴上表示下列各数：-5，2，0，-1
1
2
，|-4.5|，-（-1），并把它们用“＜”符号连接起来．
某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划7天，每天安排4场比赛，共有
 
个队参赛．

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