Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（-4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．
①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）①根据题意设E′（2t，t），代入抛物线的解析式即可求得t的值，进而求得D、E′的坐标，根据A（6，0），B（0，3）求得直线AB的解析式，根据D（2，0），E′（4，2）求得直线DE′的解析式，进而求得G、H的坐标，即可求得三角形DGH的面积，即是△DE′F与△ADG重叠部分的面积；
②根据菱形的性质分三种情况分别讨论即可求得P的坐标；

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（-4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
∴

36a+6b+c=0 16a-4b+c=0 c=3

，解得

a=- 1 8 b= 1 4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

8

x²+

1

4

x+3；

（2）①根据题意设E′（2t，t），
∴t=-

1

8

×4t²+

1

4

×t+3，解得：t=2，t=-3（舍去），
∴D（2，O），E′（4，2）
∵A（6，0），B（0，3）．
∴直线AB为y=-

1

2

x+3，
把x=2代入得y=-

1

2

×2+3=2，
∴G（2，2），
∵D（2，0），E′（4，2），
∴直线DE′的解析式为y=x-2，
解

y=- 1 2 x+3 y=x-2

，得

x= 10 3 y= 4 3

，
∴H（

10

3

，

4

3

），
∴S_△DGH=

1

2

×2×（

10

3

-2）=

4

3

，
∴t为2时点E′恰好在抛物线上，此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积为

4

3

；
②如图，当AD为对角线时，∵A（6，0），D（2，0），E′（4，2），以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，
则DE′=AE′，
∴E′和P关于x轴对称，
∴P（4，-2）
所以点P的坐标为（4，-2）；
当AD、DE是边时；∵AD=6-t，菱形ADE′P
∴E'P=AD=DE′=6-t
∵E'（2t，t），D（t，0）
∴DE′²=t²+t²=2t²
∴2t²=（6-t）²
∴t₁=-6+6

2

，t₂=-6-6

2

（舍去），
∵P（t+6，t）
∴P（6

2

，-6+6

2

），
当AD、AE是边时；∵AD=6-t，菱形AE'PD
∴E'P=AD=AE′=6-t，
∵E'（2t，t），D（t，0），
∵AE′²=（6-2t）²+t²，
∴（6-2t）²+t²=（6-t）²，
∴t₃=3，t₄=0（舍去），
∴P（3，3）．
综上，P（4，-2）或P（6

2

，-6+6

2

）或（3，3）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，直线的交点坐标，三角形的面积，以及菱形的性质等，本题的关键是确定D的坐标．