Question

5．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一点，PM⊥PB交AD于M．
（1）求证：$\frac{BP}{PM}$=$\frac{AD}{DC}$；
（2）若MA=MP，AB=3，BC=4，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）连接BM，先证明A、B、P、M四点共圆，再证明△ADC∽△BPM即可解决问题．
（2）作BN⊥AP于N，先证明BA=BP，再求出BN、PN即可解决问题．

解答 （1）证明：连接BM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∵PM⊥PB，
∴∠BPM=90°，
∴∠BAM+∠BPM=180°，
∴A、B、P、M四点共圆，
∴∠MBP=∠DAC，
∵∠D=∠BPM=90°，
∴△ADC∽△BPM，
∴$\frac{AD}{PB}$=$\frac{DC}{PM}$，
∴$\frac{BP}{PM}$=$\frac{AD}{DC}$．
（2）解：作BN⊥AP于N．
在RT△BMA和RT△BMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BM}\\{AM=PM}\end{array}\right.$，
∴△BMA≌△BMP，
∴AB=PB=3，
在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BN，
∴BN=$\frac{12}{5}$，
在RT△PBN中，PN=$\sqrt{P{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∵BA=BP，BN⊥AP，
∴AN=NP，
AP=2PN=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质勾股定理、四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．