Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A（-1，0）在x轴上，与y轴交于点B，点C（1，4）为抛物线上一点，CD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴左侧图象上一动点，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，作直线AE⊥x轴，交线段CD于点E，连接AP、PE，当∠APE=90°时，求tan∠PCE的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意设为顶点式代入点C即可求解；
（2）连接PC，PB，BC，过点P作平行于x轴的直线交BC于点Q，运用点P的横坐标为t，表示纵坐标y=t²+2t+1，进一步表示线段PQ的长度，利用△PBC的面积S=S_△PCQ+S_△PQB即可求解；
（3）过点P作平行于y轴的直线，交x轴于点M，交CD于点H，构造相似三角形△HPE∽△MAP，运用对应边的比相等$\frac{PH}{AM}=\frac{HE}{PM}$，建立等量关系$\frac{3-{（t}^{2}+2t）}{-1-t}$=$\frac{-1-t}{{t}^{2}+2t+1}$，进一步求解即可．

解答 解：（1）由抛物线的顶点A（-1，0），设抛物线为：y=a（x+1）²，
把点C（1，4）的坐标代入得：4=a（1+1）²，
解得：a=1，
∴y=（x+1）²，
抛物线的解析式为：y=x²+2x+1．
（2）如图1，连接PC，PB，BC，过点P作平行于x轴的直线交BC于点Q，

y=x²+2x+1，当x=0，y=1，∴点B（0，1），
设直线BC解析式为：y=mx+n，
把点B（0，1），和点C（1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4=m+n}\\{1=n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴y=3x+1，
设点P的横坐标为t，则纵坐标为：t²+2t+1，
把y=t²+2t+1代入y=3x+1，
得：x=$\frac{{t}^{2}+2t}{3}$，
∴PQ=$\frac{{t}^{2}+2t}{3}$-t=$\frac{{t}^{2}-t}{3}$，
∴△PBC的面积为S=S_△PCQ+S_△PQB=$\frac{1}{2}$×PQ×[4-（t²+2t+1）+（t²+2t+1）-1]=$\frac{1}{2}$×PQ×（4-1）=$\frac{1}{2}$×$\frac{{t}^{2}-t}{3}$×3=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t．

（3）如图2，过点P作平行于y轴的直线，交x轴于点M，交CD于点H，

∵CD∥x轴，
∴PH⊥CD，PM⊥x轴，
∴∠PHE=∠AMP=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠HPE+∠APM=90°，
∵∠HPE+∠PEH=90°，
∴∠APM=∠PEH，
∴△HPE∽△MAP，
∴$\frac{PH}{AM}=\frac{HE}{PM}$，
由（2）点P（t，t²+2t+1），
∴AM=-1-t，PM=t²+2t+1，
∵CD∥x轴，点C（1，4），
∴PH=4-（t²+2t+1）=3-（t²+2t），
HE=AM=-1-t，
∴$\frac{3-{（t}^{2}+2t）}{-1-t}$=$\frac{-1-t}{{t}^{2}+2t+1}$，
解得：t=-1-$\sqrt{3}$，或t=-1+$\sqrt{3}$（舍去），
∴PH=3-（t²+2t）=1，
CH=1-（-1-$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$，
在直角三角形PHE中：tan∠PCE=$\frac{PH}{CH}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了待定系数法求解析式，灵活运用顶点式是求解析式的关键；在解决形积问题时，会运用坐标表示线段，会运用已知建立数量关系是解题的关键．