Question

13．如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=8，CD=3，求AC长．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，如图，先计算出BD=5，再根据角平分线的性质得DE=DC=3，则利用勾股定理可计算出BE=4，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，设AC=x，则AB=x+4，、在Rt△ABC中，利用勾股定理得到x²+8²=（x+4）²，然后解方程求出x即可．

解答 解：作DE⊥AB于E，如图，
∵BC=8，CD=3，
∴BD=5，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴DE=DC=3，
在Rt△BED中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE，
设AC=x，则AB=x+4，、
在Rt△ABC中，x²+8²=（x+4）²，解得x=6．
即AC的长为6．

点评 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股定理定理和全等三角形的判定与性质．