Question

15．定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推．
（1）求a₂、a₃、a₄的值．　　
（2）求a₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 利用规定的运算方法，分别算得a₁，a₂，a₃，a₄…，找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题．

解答 解：（1）∵a₁=-$\frac{1}{3}$，
∴a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
（2）数列以-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4三个数依次不断循环，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=4．

点评 此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．