Question

如图，AB是⊙O直径，点D是弧AEB上的一个动点（不包括A，B），则下列结论：
①当BD=AC时，四边形ACBD为矩形；
②若∠BCD=∠ACD，则OD⊥AB；
③若∠BAD=18°，则以BD为边可以作一个圆内接正十边形；
④当△ABD的面积最大时，sin∠BCD=

1

2

．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆,矩形的判定,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：①根据直径所对的圆周角是直角，以及直角△ABC≌直角△BAD，直角三角形的两锐角互余，即可证得四边形ACBD的四个角是直角，据此即可证得；
②根据圆周角相等，则所对的弧相等，然后根据垂径定理即可证得；
③求得BD所对的圆心角即可判断；
④当△ABD的面积最大时，OD⊥AB，利用圆周角定理即可求得∠BCD的度数，即可作出判断．

解答：解：①当BD=AC时，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在直角△ABC和直角△BAD中，

AB=BA AC=BD

，
∴直角△ABC≌直角△BAD，
∴∠ABC=∠BAD，
又∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠BAD=90°，
即∠CAD=90°，
∴四边形ACBD为矩形，故①正确；
②当∠BCD=∠ACD时，

BD

=

AD

，
∴OD⊥AB．
故②正确；
③若∠BAD=18°，则∠BOD=36°=

1

10

×360°，则以BD为边可以作一个圆内接正十边形，正确；
④当△ABD的面积最大时，OD⊥AB，则∠BOD=90°，∠BCD=45°，
则sin∠BCD=

1

2

错误．
故答案是：①②③．

点评：本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，矩形的判定定理，正确理解定理是关键．