Question

如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为

5

．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E=

3

2

，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=

1

2

AB=2；
（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=

1

2

BC=1，再计算出

OC

OP

=

5

1

=

OE

OA

，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=

3

2

，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=

13

，然后根据平行线分线段成比例定理得

DC

DE

=

DB

DP

，再利用比例性质可计算出DE=

5 13

3

．

解答：（1）解：∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2

5

，AB=4，
∴BC=

AC2-AB2

=2，
∵直径FG⊥AB，
∴AP=BP=

1

2

AB=2；

（2）证明∵AP=BP，AO=OC
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=

1

2

BC=1，
∴

OC

OP

=

5

1

，
而

OE

OA

=

5

5

=

5

，
∴

OC

OP

=

OE

OA

，
∵∠EOC=∠AOP，
∴△EOC∽△AOP，
∴∠OCE=∠OPA=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥EP，
∴∠DCB=∠E，
∴tan∠DCB=tan∠E=

3

2

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB=

BD

BC

=

3

2

，
∴BD=3，
∴CD=

BC2+BD2

=

13

，
∵BC∥EP，
∴

DC

DE

=

DB

DP

，即

13

DE

=

3

3+2

，
∴DE=

5 13

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．